Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas por formula general:

Es aquella ecuación que se compone de un polinomio de segundo grado de la forma Ax2+Bx2+Cx2.

Solución por formula General:

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.
 
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x² + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10
3x²  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x² + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

 

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:  

Resolver la ecuación  2x² + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

 

 

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b² − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b² – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

 

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:

Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.

En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Ejemplo de como graficar una parábola:

Orientación o concavidad:
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5
 
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5

Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5

 Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x² + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.